6. Решите методом замены переменных систему уравнений { (xy)² - 3xy = 18, 4x + y = 1.

Пусть $$z = xy$$. Тогда первое уравнение принимает вид: $$z^2 - 3z - 18 = 0$$.

Решим квадратное уравнение: $$z^2 - 3z - 18 = 0$$.

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81 = 9^2$$.

$$z_1 = \frac{3 - 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$.

$$z_2 = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6$$.

Из второго уравнения выразим $$y$$: $$y = 1 - 4x$$.

Случай 1: $$xy = -3$$. Подставим $$y$$: $$x(1 - 4x) = -3$$, или $$x - 4x^2 = -3$$, или $$4x^2 - x - 3 = 0$$.

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2$$.

$$x_1 = \frac{1 - 7}{8} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$$.

$$x_2 = \frac{1 + 7}{8} = \frac{8}{8} = 1$$.

Если $$x = -\frac{3}{4}$$, то $$y = 1 - 4(-\frac{3}{4}) = 1 + 3 = 4$$.

Если $$x = 1$$, то $$y = 1 - 4(1) = 1 - 4 = -3$$.

Случай 2: $$xy = 6$$. Подставим $$y$$: $$x(1 - 4x) = 6$$, или $$x - 4x^2 = 6$$, или $$4x^2 - x + 6 = 0$$.

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 6 = 1 - 96 = -95 < 0$$. Решений нет.

Решения системы: $$(-\frac{3}{4}; 4)$$ и $$(1; -3)$$.

Ответ: $$(-\frac{3}{4}; 4)$$, (1; -3).