8. Решите неравенство: 1 ≤2 2+x-x²

8. Решить неравенство: $$\frac{1}{2 + x - x^2} \le 2$$

Решение:

$$\frac{1}{2 + x - x^2} - 2 \le 0$$

$$\frac{1 - 2(2 + x - x^2)}{2 + x - x^2} \le 0$$

$$\frac{1 - 4 - 2x + 2x^2}{2 + x - x^2} \le 0$$

$$\frac{2x^2 - 2x - 3}{-(x^2 - x - 2)} \le 0$$

$$\frac{2x^2 - 2x - 3}{x^2 - x - 2} \ge 0$$

Найдем корни числителя: $$2x^2 - 2x - 3 = 0$$

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 4 + 24 = 28$$

$$x_1 = \frac{2 + \sqrt{28}}{4} = \frac{2 + 2\sqrt{7}}{4} = \frac{1 + \sqrt{7}}{2}$$

$$x_2 = \frac{2 - \sqrt{28}}{4} = \frac{2 - 2\sqrt{7}}{4} = \frac{1 - \sqrt{7}}{2}$$

Найдем корни знаменателя: $$x^2 - x - 2 = 0$$

$$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

$$x_3 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$$

$$x_4 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$$

Метод интервалов:

        +            -            +           -           +
----(-1)----((1-√7)/2)----(2)----((1+√7)/2)-----
x_2 ≈ -0.82
x_1 ≈ 1.82

Решение:

$$x \in (-\infty; -1) \cup [\frac{1 - \sqrt{7}}{2}; \frac{1 + \sqrt{7}}{2}] \cup (2; +\infty)$$

Ответ: $$x \in (-\infty; -1) \cup [\frac{1 - \sqrt{7}}{2}; \frac{1 + \sqrt{7}}{2}] \cup (2; +\infty)$$