7. Решите неравенство $$\sqrt{2x – x^2 + 1} \ge 2x – 3$$.

$$\sqrt{2x – x^2 + 1} \ge 2x – 3$$

ОДЗ: $$2x - x^2 + 1 \ge 0$$

$$-x^2 + 2x + 1 \ge 0$$

$$x^2 - 2x - 1 \le 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$x^2 - 2x - 1 = 0$$

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$$

$$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{2}$$

$$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{8}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{2} = 1 - \sqrt{2}$$

Решением неравенства $$x^2 - 2x - 1 \le 0$$ будет $$x \in [1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2}]$$

Рассмотрим два случая:

1) $$2x - 3 < 0$$, $$x < \frac{3}{2}$$

В этом случае неравенство выполняется для всех $$x$$ из ОДЗ, удовлетворяющих условию $$x < \frac{3}{2}$$.

Тогда $$x \in [1 - \sqrt{2}; \frac{3}{2})$$

2) $$2x - 3 \ge 0$$, $$x \ge \frac{3}{2}$$

В этом случае возведем обе части неравенства в квадрат:

$$2x - x^2 + 1 \ge (2x - 3)^2$$

$$2x - x^2 + 1 \ge 4x^2 - 12x + 9$$

$$5x^2 - 14x + 8 \le 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$5x^2 - 14x + 8 = 0$$

$$D = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 8 = 196 - 160 = 36$$

$$x_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{14 + 6}{10} = \frac{20}{10} = 2$$

$$x_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{36}}{2 \cdot 5} = \frac{14 - 6}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} = 0,8$$

Решением неравенства $$5x^2 - 14x + 8 \le 0$$ будет $$x \in [0,8; 2]$$

Учитывая условие $$x \ge \frac{3}{2}$$, получаем $$x \in [\frac{3}{2}; 2]$$

Объединяя решения из двух случаев, получаем:

$$x \in [1 - \sqrt{2}; 2]$$

Ответ: $$[1 - \sqrt{2}; 2]$$