7. Решите неравенство $$\sqrt{2x - x^2 + 1} \ge 2x - 3$$.

$$\sqrt{2x - x^2 + 1} \ge 2x - 3$$

ОДЗ: $$2x - x^2 + 1 \ge 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 1 \le 0$$

$$x^2 - 2x - 1 = 0$$

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8$$

$$x_1 = \frac{2 + \sqrt{8}}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{2}$$

$$x_2 = \frac{2 - \sqrt{8}}{2} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{2} = 1 - \sqrt{2}$$

Тогда $$1 - \sqrt{2} \le x \le 1 + \sqrt{2}$$

Рассмотрим два случая:

1) $$2x - 3 < 0 \Rightarrow x < \frac{3}{2} = 1,5$$

Тогда решением будет $$1 - \sqrt{2} \le x < \frac{3}{2}$$

2) $$2x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge \frac{3}{2} = 1,5$$

$$2x - x^2 + 1 \ge (2x - 3)^2$$

$$2x - x^2 + 1 \ge 4x^2 - 12x + 9$$

$$5x^2 - 14x + 8 \le 0$$

$$5x^2 - 14x + 8 = 0$$

$$D = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 8 = 196 - 160 = 36$$

$$x_1 = \frac{14 + 6}{10} = \frac{20}{10} = 2$$

$$x_2 = \frac{14 - 6}{10} = \frac{8}{10} = 0,8$$

Тогда $$0,8 \le x \le 2$$

С учетом $$x \ge 1,5$$ получаем $$1,5 \le x \le 2$$

Объединяем решения: $$1 - \sqrt{2} \le x \le 2$$

Ответ: $$[1 - \sqrt{2}; 2]$$