Решите неравенство: $ (5-x)(x^2+x-30) \ge 0 $.

Question

Вопрос: $Фото задания: Решите неравенство: $ (5-x)(x^2+x-30) \ge 0 $.$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим квадратный трёхчлен $ x^2+x-30 $ на множители. Для этого найдём его корни:

$ x^2+x-30 = 0 $

Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-30) = 1 + 120 = 121 $.

Корни: $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-1 \pm 11}{2} $.

$ x_1 = \frac{-1 + 11}{2} = \frac{10}{2} = 5 $

$ x_2 = \frac{-1 - 11}{2} = \frac{-12}{2} = -6 $

Значит, $ x^2+x-30 = (x-5)(x+6) $.

Теперь неравенство примет вид:

$ (5-x)(x-5)(x+6) \ge 0 $

Заменим $ 5-x $ на $ -(x-5) $:

$ -(x-5)(x-5)(x+6) \ge 0 $

$ -(x-5)^2(x+6) \ge 0 $

Разделим на $ -1 $ и сменим знак неравенства:

$ (x-5)^2(x+6) \le 0 $

Произведение $ (x-5)^2(x+6) $ равно нулю или отрицательно.

$ (x-5)^2 $ всегда $ \ge 0 $.

Чтобы произведение было $ \le 0 $, необходимо:

Из $ x+6 \le 0 $ получаем $ x \le -6 $.

Из $ x+6 = 0 $ получаем $ x = -6 $.

Таким образом, $ x \le -6 $.

Ответ: $ (-\infty; -6] $.

Решите неравенство: \( (5-x)(x^2+x-30) \ge 0 \).