Решите неравенство: \( \frac{1}{x} \ge \frac{1}{x-6} \).

Решение:

Перенесём всё в одну сторону:

\( \frac{1}{x} - \frac{1}{x-6} \ge 0 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{(x-6) - x}{x(x-6)} \ge 0 \)

\( \frac{x-6-x}{x(x-6)} \ge 0 \)

\( \frac{-6}{x(x-6)} \ge 0 \)

Чтобы дробь была больше или равна нулю, а числитель отрицателен, знаменатель должен быть отрицательным:

\( x(x-6) < 0 \)

Это неравенство выполняется, когда \( x \) находится между корнями \( 0 \) и \( 6 \).

\( 0 < x < 6 \).

Также учтем, что знаменатель не может быть равен нулю, то есть \( x \ne 0 \) и \( x \ne 6 \).

Ответ: \( (0; 6) \).