Решите неравенство: (x−9)² <√2(x−9).

Решение:

Перенесём всё в левую часть:

\( (x-9)^2 - \sqrt{2}(x-9) < 0 \)

Вынесем общий множитель \( (x-9) \):

\( (x-9) \left( (x-9) - \sqrt{2} \right) < 0 \)

\( (x-9) \left( x - 9 - \sqrt{2} \right) < 0 \)

Найдем корни:

\( x-9 = 0 \Rightarrow x = 9 \)

\( x - 9 - \sqrt{2} = 0 \Rightarrow x = 9 + \sqrt{2} \)

Нанесем корни на числовую ось и определим знаки:

\( \sqrt{2} \approx 1.41 \), значит \( 9 + \sqrt{2} \approx 10.41 \).

Числовая ось разбивается на промежутки: \( (-\infty; 9) \), \( (9; 9+\sqrt{2}) \), \( (9+\sqrt{2}; +\infty) \).

Выберем тестовые точки:

• При \( x=0 \): \( (0-9)(0-9-\sqrt{2}) = (-9)(-9-\sqrt{2}) = 81 + 9\sqrt{2} > 0 \)
• При \( x=10 \): \( (10-9)(10-9-\sqrt{2}) = (1)(1-\sqrt{2}) < 0 \)
• При \( x=11 \): \( (11-9)(11-9-\sqrt{2}) = (2)(2-\sqrt{2}) > 0 \)

Неравенство \( < 0 \) выполняется на промежутке \( (9; 9+\sqrt{2}) \).

Ответ: \( (9; 9+\sqrt{2}) \).