Решите неравенство: \( \frac{x^2}{x-5} \le x \).

Решение:

Перенесём \( x \) в левую часть:

\( \frac{x^2}{x-5} - x \le 0 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{x^2 - x(x-5)}{x-5} \le 0 \)

\( \frac{x^2 - x^2 + 5x}{x-5} \le 0 \)

\( \frac{5x}{x-5} \le 0 \)

Это неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки, или когда числитель равен нулю.

Случай 1: \( 5x \ge 0 \) и \( x-5 < 0 \).

Из \( 5x \ge 0 \) получаем \( x \ge 0 \).

Из \( x-5 < 0 \) получаем \( x < 5 \).

Объединяя, получаем \( 0 \le x < 5 \).

Случай 2: \( 5x \le 0 \) и \( x-5 > 0 \).

Из \( 5x \le 0 \) получаем \( x \le 0 \).

Из \( x-5 > 0 \) получаем \( x > 5 \).

Эти условия несовместимы, поэтому этот случай не даёт решений.

Объединяя результаты, получаем \( 0 \le x < 5 \).

Ответ: \( [0; 5) \).