Решите неравенство: \( (x^2+x-6)(x^2+x-30) \le 0 \).

Решение:

Разложим оба квадратных трёхчлена на множители.

1. \( x^2+x-6 \)

Корни: \( x^2+x-6 = 0 \).

\( D = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \).

\( x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \).

\( x_1 = \frac{-1+5}{2} = 2 \), \( x_2 = \frac{-1-5}{2} = -3 \).

\( x^2+x-6 = (x-2)(x+3) \).

2. \( x^2+x-30 \)

Корни: \( x^2+x-30 = 0 \).

\( D = 1^2 - 4(1)(-30) = 1 + 120 = 121 \).

\( x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-1 \pm 11}{2} \).

\( x_1 = \frac{-1+11}{2} = 5 \)$$, \( x_2 = \frac{-1-11}{2} = -6 \).

\( x^2+x-30 = (x-5)(x+6) \).

Теперь неравенство имеет вид:

\( (x-2)(x+3)(x-5)(x+6) \le 0 \)

Найдем корни многочлена: \( -6, -3, 2, 5 \).

Разобьём числовую прямую на интервалы и определим знак произведения:

• \( (-\infty; -6] \): Возьмём \( x = -7 \). \( (-9)(-4)(-12)(-1) = + \)
• \( [-6; -3] \): Возьмём \( x = -4 \). \( (-6)(-1)(-9)(-2) = + \)
• \( [-3; 2] \): Возьмём \( x = 0 \). \( (-2)(3)(-5)(6) = + \)
• \( [2; 5] \): Возьмём \( x = 3 \). \( (1)(6)(-2)(9) = - \)
• \( [5; +\infty) \): Возьмём \( x = 6 \). \( (4)(9)(1)(12) = + \)

Неравенство \( \le 0 \) выполняется на интервале \( [2; 5] \).

Ответ: \( [2; 5] \).