Решите неравенство: 7^x · 13^{12-x} > 13^{12} · 49^{-6}

Решение:

1. Перепишем неравенство:
2. [\[7^x · 13^{12-x} > 13^{12} · (7^2)^{-6} \]]
3. [\[7^x · 13^{12-x} > 13^{12} · 7^{-12} \]]
4. Сгруппируем основания:
5. [\[√{√{7^x}} · √{√{13^{12-x}}} > √{√{13^{12}}} · √{√{7^{-12}}} \]]
6. Перенесем члены с одинаковыми основаниями в одну сторону:
7. [\[√{√{7^x}} / √{√{7^{-12}}} > √{√{13^{12}}} / √{√{13^{12-x}}} \]]
8. [\[7^{x - (-12)} > 13^{12 - (12-x)} \]]
9. [\[7^{x+12} > 13^x \]]
10. Логарифмируем обе части неравенства по основанию 7 (так как 7 > 1, знак неравенства сохраняется):
11. [\[³₇(7^{x+12}) > ³₇(13^x) \]]
12. [\[(x+12)³₇{7} > x³₇{13} \]]
13. [\[x+12 > x³₇{13} \]]
14. [\[12 > x³₇{13} - x \]]
15. [\[12 > x(³₇{13} - 1) \]]
16. Выразим x:
17. [\[x < √{12} / (³₇{13} - 1) \]]
18. Найдем сумму целых корней в промежутке (-24; 5]:
19. ³₇{13} ≈ 1.04.
20. ³₇{13} - 1 ≈ 0.04.
21. 12 / 0.04 = 300.
22. Итак, \(x < 300\).
23. Целые корни в промежутке (-24; 5] удовлетворяющие \(x < 300\) это: -23, -22, ..., 4, 5.
24. Сумма целых корней:
25. Используем формулу суммы арифметической прогрессии: \(S_n = (n/2)(a_1 + a_n)\).
26. Количество членов: \(n = 5 - (-23) + 1 = 29\).
27. \(S_{29} = (29/2)(-23 + 5) = (29/2)(-18) = 29 · (-9) = -261\).

Ответ: -261