В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) медиана, проведенная к боковой стороне, равна 15. Найдите площадь треугольника ABC, если cos(LABC) = 4/5.

Решение:

1. Обозначения: Пусть BM — медиана, проведенная к стороне AC. По условию, BM = 15. Треугольник ABC — равнобедренный с AB = BC. Угол ABC обозначим как \(\beta\), cos(\(\beta\)) = 4/5.
2. Нахождение сторон: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также высотой и биссектрисой. Однако BM — медиана к боковой стороне. Рассмотрим \(\triangle ABM\). Мы знаем BM = 15, но нам нужны стороны AB и AM.
3. Используем теорему косинусов для \(\triangle ABC\): \(AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 · AB · BC · ³\). Так как AB = BC, обозначим их как 'a'. \(AC^2 = a^2 + a^2 - 2 · a · a · (4/5)\) \(AC^2 = 2a^2 - (8/5)a^2 = (10/5)a^2 - (8/5)a^2 = (2/5)a^2\). Значит, \(AC = a·√(2/5)\).
4. Нахождение AM: M — середина AC, поэтому \(AM = AC/2 = (a·√(2/5))/2 = a·√(2/5)/2\).
5. Применим теорему Пифагора к \(\triangle ABM\): \(AB^2 = AM^2 + BM^2\). \(a^2 = (a·√(2/5)/2)^2 + 15^2\). \(a^2 = a^2 · (2/5) / 4 + 225\). \(a^2 = a^2 · (1/10) + 225\). \(a^2 - (1/10)a^2 = 225\). \((9/10)a^2 = 225\). \(a^2 = 225 · (10/9) = 25 · 10 = 250\).
6. Нахождение площади: Площадь \(\triangle ABC = (1/2) · AB · BC · ³\). \(S = (1/2) · a · a · (4/5) = (1/2) · a^2 · (4/5)\). Подставляем \(a^2 = 250\): \(S = (1/2) · 250 · (4/5) = 125 · (4/5) = 25 · 4 = 100\).

Ответ: 100