В правильной треугольной пирамиде ребро основания равно 4√3, а угол между боковой гранью и основанием равен 60°. Найдите V — объем пирамиды.

Решение:

1. Основные формулы:
   • Объем пирамиды: \(V = (1/3) · S_{осн} · h\), где \(S_{осн}\) — площадь основания, h — высота пирамиды.
   • Основание — правильный треугольник. Площадь правильного треугольника со стороной 'a': \(S_{осн} = (a^2√{3})/4\).
2. Находим площадь основания:
3. Дано ребро основания \(a = 4√{3}\).
4. [\[S_{осн} = √{3}/4 · (4√{3})^2 = √{3}/4 · (16 · 3) = √{3}/4 · 48 = 12√{3} \(ед^2)\)
5. Находим высоту пирамиды (h):
   • Угол между боковой гранью и основанием равен 60°. Этот угол — угол между апофемой (высотой боковой грани, проведенной из вершины пирамиды) и радиусом вписанной окружности основания (так как пирамида правильная).
   • В правильном треугольнике радиус вписанной окружности (r) равен \(r = a / (2√{3})\).
   • \(r = (4√{3}) / (2√{3}) = 2 \(ед)\).
   • Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (h), радиусом вписанной окружности (r) и апофемой (l).
   • ³ = 60°.
   • \(³ = arctan(h/r)\).
   • \(h = r · tan(³) = 2 · tan(60°) = 2 · √{3} \(ед)\).
6. Вычисляем объем пирамиды:
7. [\[V = (1/3) · S_{осн} · h = (1/3) · (12√{3}) · (2√{3}) \]]
8. [\[V = (1/3) · (24 · 3) = (1/3) · 72 = 24 \(ед^3)\)

Ответ: 24