Решите уравнение: √5 - √x² + 2x - 8 = 0

Решение:

Перепишем уравнение:

\[\sqrt{5} - \sqrt{x^2 + 2x - 8} = 0 \]

[\[\sqrt{5} = \sqrt{x^2 + 2x - 8} \]

Возведем обе части уравнения в квадрат:

[\[5 = x^2 + 2x - 8 \]

Перенесем все в одну сторону:

[\[x^2 + 2x - 8 - 5 = 0 \]

[\[x^2 + 2x - 13 = 0 \]

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[\[D = b^2 - 4ac \]

[\[D = 2^2 - 4 · 1 · (-13) = 4 + 52 = 56 \]

[\[x_{1,2} = \frac{-b ± √{D}}{2a} \]

[\[x_{1,2} = \frac{-2 ± √{56}}{2} = ± √{14} - 1 \]

Теперь проверим, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

[\[x^2 + 2x - 8 ≥ 0 \]

Найдем корни уравнения \(x^2 + 2x - 8 = 0\):

[\[D = 2^2 - 4 · 1 · (-8) = 4 + 32 = 36 \]

[\[x_{1,2} = ± 6 - 2 \]

\(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\).

Значит, \(x^2 + 2x - 8 ≥ 0\) при \(x ≤ -6\) или \(x ≥ 4\).

Проверим полученные корни:

\(x_1 = √{14} - 1 ≈ 3.74 - 1 = 2.74\). Этот корень не удовлетворяет условию \(x ≥ 4\).

\(x_2 = -√{14} - 1 ≈ -3.74 - 1 = -4.74\). Этот корень не удовлетворяет условию \(x ≤ -6\).

Однако, мы могли бы переписать уравнение как: \(\sqrt{5} = \sqrt{x^2+2x-8}\). И тогда возведение в квадрат даст \(5 = x^2+2x-8\), что мы и решили. Нам осталось только проверить, что \(x^2+2x-8 \ge 0\) для полученных корней.

Для \(x = √{14} - 1\), \(x^2+2x-8 = (√{14}-1)^2 + 2(√{14}-1) - 8 = (14 - 2√{14} + 1) + 2√{14} - 2 - 8 = 15 - 2√{14} + 2√{14} - 10 = 5\). \(\sqrt{5} = \sqrt{5}\).

Для \(x = -√{14} - 1\), \(x^2+2x-8 = (-√{14}-1)^2 + 2(-√{14}-1) - 8 = (14 + 2√{14} + 1) - 2√{14} - 2 - 8 = 15 + 2√{14} - 2√{14} - 10 = 5\). \(\sqrt{5} = \sqrt{5}\).

Оба корня подходят.

Сумма корней: \((√{14} - 1) + (-√{14} - 1) = -2\).

Увеличенная в 10 раз сумма корней: \(-2 \cdot 10 = -20\).