Решите неравенство: logo,2 (3x - 5) ≥ logo,2(x + 1).

Решение:

Данное неравенство содержит логарифмы с основанием 0,2. Так как основание \( 0 < 0.2 < 1 \), то при переходе от логарифмического неравенства к алгебраическому, знак неравенства меняется на противоположный.

1. ОДЗ (Область допустимых значений):

• Аргументы логарифмов должны быть положительными:

\[ 3x - 5 > 0 \implies 3x > 5 \implies x > \frac{5}{3} \]
\[ x + 1 > 0 \implies x > -1 \]

Объединяя эти условия, получаем \( x > \frac{5}{3} \).

2. Решение неравенства:

Убираем логарифмы, меняя знак неравенства:

\[ 3x - 5 \le x + 1 \]

Переносим члены с \( x \) в одну сторону, а числа — в другую:

\[ 3x - x \le 1 + 5 \]
\[ 2x \le 6 \]
\[ x \le 3 \]

3. Объединение решения с ОДЗ:

Нам нужно найти пересечение условий \( x > \frac{5}{3} \) и \( x \le 3 \).

\( \frac{5}{3} \) примерно равно \( 1.67 \).

Таким образом, \( \frac{5}{3} < x \le 3 \).

Ответ: $$x \in (\frac{5}{3}; 3]$$.