Тело движется по прямой со скоростью, определяемой формулой V= t³ - 3t + 4 (м/с), где t – время в секундах. Какой путь пройдёт тело за 3 с от начала движения?

Решение:

Путь \( S \) тела при прямолинейном движении находится как интеграл от скорости по времени:

\[ S = \int_{t_1}^{t_2} V(t) dt \]

В данном случае \( t_1 = 0 \) (начало движения) и \( t_2 = 3 \) с. Скорость \( V(t) = t^3 - 3t + 4 \) м/с.

Найдем интеграл:

\[ S = \int_{0}^{3} (t^3 - 3t + 4) dt \]

Вычислим неопределенный интеграл:

\[ \int (t^3 - 3t + 4) dt = \frac{t^4}{4} - \frac{3t^2}{2} + 4t + C \]

Теперь вычислим определенный интеграл:

\[ S = \left[ \frac{t^4}{4} - \frac{3t^2}{2} + 4t \right]_{0}^{3} \]
\[ S = \left( \frac{3^4}{4} - \frac{3 \cdot 3^2}{2} + 4 \cdot 3 \right) - \left( \frac{0^4}{4} - \frac{3 \cdot 0^2}{2} + 4 \cdot 0 \right) \]
\[ S = \frac{81}{4} - \frac{3 \cdot 9}{2} + 12 - 0 \]
\[ S = \frac{81}{4} - \frac{27}{2} + 12 \]

Приведём к общему знаменателю 4:

\[ S = \frac{81}{4} - \frac{54}{4} + \frac{48}{4} \]
\[ S = \frac{81 - 54 + 48}{4} = \frac{27 + 48}{4} = \frac{75}{4} \]
\[ S = 18.75 \]

Ответ: 18,75 м.