3. Решите неравенство: a) 2x² – x – 15 > 0; б) x² – 16 x² + 12x + 80≤0

3. Решите неравенство:

a) $$2x² – x – 15 > 0$$;

Решим квадратное уравнение, чтобы найти корни параболы:

$$2x² – x – 15 = 0$$

$$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 11}{4} = \frac{12}{4} = 3$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 11}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$$

Так как коэффициент при $$x^2$$ положительный, ветви параболы направлены вверх. Неравенство больше нуля вне корней:

$$x < -2.5$$ или $$x > 3$$

Ответ: $$\left(-\infty; -2.5\right) \cup \left(3; +\infty\right)$$.

б) $$x² – 16 x² + 12x + 80≤0$$

$$x^2 – 16 x^2 + 12x + 80 \le 0$$

$$-15x^2 + 12x + 80 \le 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$-15x^2 + 12x + 80 = 0$$

$$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot (-15) \cdot 80 = 144 + 4800 = 4944$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + \sqrt{4944}}{2 \cdot (-15)} = \frac{-12 + 70.3136}{ -30} = \frac{58.3136}{-30} = -1.9438$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - \sqrt{4944}}{2 \cdot (-15)} = \frac{-12 - 70.3136}{-30} = \frac{-82.3136}{-30} = 2.7438$$

Так как коэффициент при x² отрицательный, ветви параболы направлены вниз. Неравенство меньше нуля вне корней:

$$x \le -1.9438$$ или $$x \ge 2.7438$$

Ответ: $$\left(-\infty; -1.9438\right] \cup \left[2.7438; +\infty\right)$$.