Решите уравнение: \frac{x²-14}{x} - \frac{10x}{x²-14} = 3

Решите уравнение:

$$\frac{x²-14}{x} - \frac{10x}{x²-14} = 3$$

Пусть $$\frac{x^2-14}{x} = t$$, тогда уравнение примет вид:

$$t - \frac{10}{t} = 3$$

$$t^2 - 10 = 3t$$

$$t^2 - 3t - 10 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$$

$$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Вернемся к замене:

$$\frac{x^2-14}{x} = 5$$ или $$\frac{x^2-14}{x} = -2$$

$$x^2 - 14 = 5x$$ или $$x^2 - 14 = -2x$$

$$x^2 - 5x - 14 = 0$$ или $$x^2 + 2x - 14 = 0$$

Решим первое квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 9}{2} = \frac{14}{2} = 7$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{81}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2$$

Решим второе квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 4 + 56 = 60$$

$$x_3 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{60}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 7.7459}{2} = \frac{5.7459}{2} = 2.8730$$

$$x_4 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{60}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 7.7459}{2} = \frac{-9.7459}{2} = -4.8730$$

Ответ: x = 7, x = -2, x = 2.8730, x = -4.8730