7 Решите неравенство: 14x/x+1 -9x-30/x-4 < 0

Чтобы решить данное неравенство, приведем дроби к общему знаменателю и упростим выражение.

$$\frac{14x}{x+1} - \frac{9x - 30}{x - 4} < 0$$

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{14x(x - 4) - (9x - 30)(x + 1)}{(x + 1)(x - 4)} < 0$$

Раскроем скобки в числителе:

$$\frac{14x^2 - 56x - (9x^2 + 9x - 30x - 30)}{(x + 1)(x - 4)} < 0$$

$$\frac{14x^2 - 56x - 9x^2 - 9x + 30x + 30}{(x + 1)(x - 4)} < 0$$

$$\frac{5x^2 - 35x + 30}{(x + 1)(x - 4)} < 0$$

Разделим числитель на 5:

$$\frac{x^2 - 7x + 6}{(x + 1)(x - 4)} < 0$$

Найдем корни числителя:

$$x^2 - 7x + 6 = 0$$

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25$$

$$x_1 = \frac{7 + 5}{2} = 6$$

$$x_2 = \frac{7 - 5}{2} = 1$$

Разложим числитель на множители:

$$\frac{(x - 1)(x - 6)}{(x + 1)(x - 4)} < 0$$

Определим знаки методом интервалов:

  +   -   +   -   +
---(-1)--(1)--(4)--(6)---

Выберем интервалы, где выражение меньше нуля:

$$x \in (-1; 1) \cup (4; 6)$$

Ответ: $$x \in (-1; 1) \cup (4; 6)$$