5. Решите систему неравенств \( \begin{cases} x^2 - 6x + 8 \le 0, \\ 3x - 8 > 0. \end{cases} \)

Пошаговое решение:

1. Решим первое неравенство:

\[x^2 - 6x + 8 \le 0\]

Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 6x + 8 = 0\):

\[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4\]\[x_1 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4\]\[x_2 = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2\]

Значит, \(x^2 - 6x + 8 = (x - 4)(x - 2)\). Решением неравенства \((x - 4)(x - 2) \le 0\) является отрезок \([2; 4]\).

2. Решим второе неравенство:

\[3x - 8 > 0\]\[3x > 8\]\[x > \frac{8}{3}\]\[x > 2\frac{2}{3}\]

3. Найдем пересечение решений:

Так как \(2\frac{2}{3} \approx 2.67\), то решением является отрезок \((2\frac{2}{3}; 4]\).

Ответ: \((2\frac{2}{3}; 4]\)