5. Решите систему уравнений [xy(x + y) = 6, (xy + (x + y) = 5.

5. Решите систему уравнений

$$\begin{cases}xy(x + y) = 6, \\xy + (x + y) = 5.\end{cases}$$

Обозначим $$xy = u$$ и $$x + y = v$$. Тогда система уравнений примет вид:

$$\begin{cases}uv = 6, \\u + v = 5.\end{cases}$$

Выразим v из второго уравнения: $$v = 5 - u$$.

Подставим это выражение в первое уравнение: $$u(5 - u) = 6$$

$$5u - u^2 = 6$$

$$u^2 - 5u + 6 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно u:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$

$$u_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

$$u_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2$$

Найдем соответствующие значения v:

$$v_1 = 5 - u_1 = 5 - 3 = 2$$

$$v_2 = 5 - u_2 = 5 - 2 = 3$$

Рассмотрим два случая:

1) $$\begin{cases}xy = 3, \\x + y = 2.\end{cases}$$

Выразим y из второго уравнения: $$y = 2 - x$$.

Подставим это выражение в первое уравнение: $$x(2 - x) = 3$$

$$2x - x^2 = 3$$

$$x^2 - 2x + 3 = 0$$

$$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$$

Решений нет.

2) $$\begin{cases}xy = 2, \\x + y = 3.\end{cases}$$

Выразим y из второго уравнения: $$y = 3 - x$$.

Подставим это выражение в первое уравнение: $$x(3 - x) = 2$$

$$3x - x^2 = 2$$

$$x^2 - 3x + 2 = 0$$

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$

$$x_1 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{3 + 1}{2} = 2$$

$$x_2 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1$$

Найдем соответствующие значения y:

$$y_1 = 3 - x_1 = 3 - 2 = 1$$

$$y_2 = 3 - x_2 = 3 - 1 = 2$$

Ответ: (2, 1) и (1, 2)