4. Решите систему уравнений: { log 2 x + log 2 y = 2 x – 4y = 15.

$$\begin{cases}log_2 x + log_2 y = 2\\x - 4y = 15\end{cases}$$

Из первого уравнения: $$log_2 (x \cdot y) = 2$$. Тогда $$x \cdot y = 2^2 = 4$$.

Из второго уравнения: $$x = 15 + 4y$$.

Подставляем $$x$$ в первое уравнение: $$(15 + 4y) \cdot y = 4$$

$$4y^2 + 15y - 4 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = 15^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-4) = 225 + 64 = 289$$

$$y_1 = \frac{-15 + \sqrt{289}}{8} = \frac{-15 + 17}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

$$y_2 = \frac{-15 - \sqrt{289}}{8} = \frac{-15 - 17}{8} = \frac{-32}{8} = -4$$

Для $$y = \frac{1}{4}: x = 15 + 4 \cdot \frac{1}{4} = 15 + 1 = 16$$.

Для $$y = -4: x = 15 + 4 \cdot (-4) = 15 - 16 = -1$$.

Проверка:

Для $$x = 16, y = \frac{1}{4}: log_2 16 + log_2 \frac{1}{4} = 4 - 2 = 2, 16 - 4 \cdot \frac{1}{4} = 16 - 1 = 15$$.

Для $$x = -1, y = -4: log_2 (-1) + log_2 (-4)$$, логарифмы не существуют.

Ответ: $$x = 16, y = \frac{1}{4}$$