1. Решите систему уравнений: а) {x-y=6, x²+y²=20; б) {x-y=4, xy+y²=6;

Решение а)

Дана система уравнений:

\[\begin{cases}x-y=6 \\ x^2+y^2=20\end{cases}\]

• Шаг 1: Выразим x через y из первого уравнения:

\[x = y + 6\]

• Шаг 2: Подставим полученное выражение для x во второе уравнение:

\[(y+6)^2 + y^2 = 20\]

• Шаг 3: Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[y^2 + 12y + 36 + y^2 = 20\]

\[2y^2 + 12y + 16 = 0\]

• Шаг 4: Разделим уравнение на 2:

\[y^2 + 6y + 8 = 0\]

• Шаг 5: Решим квадратное уравнение относительно y. Используем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4\cdot1\cdot8 = 36 - 32 = 4\]

\[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-6 + 2}{2} = -2\]

\[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-6 - 2}{2} = -4\]

• Шаг 6: Найдем соответствующие значения x:

\[x_1 = y_1 + 6 = -2 + 6 = 4\]

\[x_2 = y_2 + 6 = -4 + 6 = 2\]

• Шаг 7: Запишем решения системы:

\[(4, -2), (2, -4)\]

Решение б)

Дана система уравнений:

\[\begin{cases}x-y=4 \\ xy+y^2=6\end{cases}\]

• Шаг 1: Выразим x через y из первого уравнения:

\[x = y + 4\]

• Шаг 2: Подставим полученное выражение для x во второе уравнение:

\[(y+4)y + y^2 = 6\]

• Шаг 3: Раскроем скобки и упростим уравнение:

\[y^2 + 4y + y^2 = 6\]

\[2y^2 + 4y - 6 = 0\]

• Шаг 4: Разделим уравнение на 2:

\[y^2 + 2y - 3 = 0\]

• Шаг 5: Решим квадратное уравнение относительно y. Используем дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4\cdot1\cdot(-3) = 4 + 12 = 16\]

\[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1\]

\[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3\]

• Шаг 6: Найдем соответствующие значения x:

\[x_1 = y_1 + 4 = 1 + 4 = 5\]

\[x_2 = y_2 + 4 = -3 + 4 = 1\]

• Шаг 7: Запишем решения системы:

\[(5, 1), (1, -3)\]

Ответ: а) (4, -2), (2, -4); б) (5, 1), (1, -3)