1. Решите систему уравнений: а) {x - y = 6, x²+y² = 20; б) {x - y = 4, xy + y² = 6;

Ответ: а) (4; -2), (2; -4); б) (5; 1), (-2; -6)

Решение:

а) Решим систему уравнений:

\[\begin{cases}x - y = 6, \\x^2 + y^2 = 20;\end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения: x = y + 6. Подставим это во второе уравнение:

\[(y + 6)^2 + y^2 = 20\]

\[y^2 + 12y + 36 + y^2 = 20\]

\[2y^2 + 12y + 16 = 0\]

\[y^2 + 6y + 8 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно y. Дискриминант: D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4.

Корни:

\[y_1 = \frac{-6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-6 + 2}{2} = -2\]

\[y_2 = \frac{-6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-6 - 2}{2} = -4\]

Теперь найдем соответствующие значения x:

Если y = -2, то x = -2 + 6 = 4.

Если y = -4, то x = -4 + 6 = 2.

Решения системы: (4; -2), (2; -4).

б) Решим систему уравнений:

\[\begin{cases}x - y = 4, \\xy + y^2 = 6;\end{cases}\]

Выразим x из первого уравнения: x = y + 4. Подставим это во второе уравнение:

\[(y + 4)y + y^2 = 6\]

\[y^2 + 4y + y^2 = 6\]

\[2y^2 + 4y - 6 = 0\]

\[y^2 + 2y - 3 = 0\]

Решим квадратное уравнение относительно y. Дискриминант: D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.

Корни:

\[y_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 + 4}{2} = 1\]

\[y_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 - 4}{2} = -3\]

Теперь найдем соответствующие значения x:

Если y = 1, то x = 1 + 4 = 5.

Если y = -3, то x = -3 + 4 = 1.

Решения системы: (5; 1), (1; -3).

Ответ: а) (4; -2), (2; -4); б) (5; 1), (-2; -6)