Решите систему уравнений: { \frac{1}{m} - \frac{1}{n} = 1; \frac{3}{m} + \frac{2}{n} = -7. }

Краткое пояснение:

Для решения данной системы уравнений удобно ввести вспомогательные переменные: пусть \( a = \frac{1}{m} \) и \( b = \frac{1}{n} \). После этого система примет вид линейных уравнений, которую можно решить методом подстановки или сложения.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Введем замену: \( a = \frac{1}{m}, b = \frac{1}{n} \). Система примет вид:
   \( a - b = 1 \)
   \( 3a + 2b = -7 \)
2. Шаг 2: Выразим \( a \) из первого уравнения: \( a = 1 + b \).
3. Шаг 3: Подставим это выражение во второе уравнение:
   \( 3(1 + b) + 2b = -7 \)
   \( 3 + 3b + 2b = -7 \)
   \( 5b = -7 - 3 \)
   \( 5b = -10 \)
   \( b = -2 \)
4. Шаг 4: Найдем \( a \), подставив значение \( b \) в уравнение \( a = 1 + b \):
   \( a = 1 + (-2) = -1 \)
5. Шаг 5: Теперь вернемся к исходным переменным \( m \) и \( n \).
   \( a = \frac{1}{m} → -1 = \frac{1}{m} → m = -1 \)
   \( b = \frac{1}{n} → -2 = \frac{1}{n} → n = -\frac{1}{2} \)
6. Шаг 6: Проверим полученные значения, подставив их в исходную систему:
   \( rac{1}{-1} - \frac{1}{-1/2} = -1 - (-2) = -1 + 2 = 1 \) (Верно)
   \( rac{3}{-1} + \frac{2}{-1/2} = -3 + (-4) = -3 - 4 = -7 \) (Верно)

Ответ: m = -1, n = -1/2