Решите систему уравнений методом алгебраического сложения: 2x + 3y = 3, 5x - 4y = 19.

Привет! Давай решим эту систему методом алгебраического сложения. Здесь коэффициенты при x и y не противоположны, так что нам нужно будет немного подкорректировать уравнения, чтобы они стали такими.

Дано:

• \[ \begin{cases} 2x + 3y = 3 \\ 5x - 4y = 19 \end{cases} \]

Решение:

Наша цель — сделать так, чтобы коэффициенты при одной из переменных (x или y) стали противоположными. Давай попробуем избавиться от y. Чтобы коэффициенты при y стали противоположными (например, 12y и -12y), нам нужно умножить первое уравнение на 4, а второе — на 3.

1. Умножаем уравнения:

Первое уравнение (на 4):

\[ 4 × (2x + 3y) = 4 × 3 \]

\[ 8x + 12y = 12 \]

Второе уравнение (на 3):

\[ 3 × (5x - 4y) = 3 × 19 \]

\[ 15x - 12y = 57 \]

Теперь наша система выглядит так:

• \[ \begin{cases} 8x + 12y = 12 \\ 15x - 12y = 57 \end{cases} \]

Смотри, коэффициенты при y теперь противоположны: +12y и -12y. Отлично!

1. Складываем уравнения:

\[ (8x + 12y) + (15x - 12y) = 12 + 57 \]

\[ 8x + 12y + 15x - 12y = 69 \]

\[ 23x = 69 \]

Получили простое уравнение с x.

1. Находим x:

\[ 23x = 69 \]

Разделим обе части на 23:

\[ x = \frac{69}{23} \]

\[ x = 3 \]

Мы нашли x. Теперь найдем y.

1. Находим y:

Подставим x = 3 в одно из исходных уравнений. Давай возьмем первое:

\[ 2x + 3y = 3 \]

\[ 2(3) + 3y = 3 \]

\[ 6 + 3y = 3 \]

Вычтем 6 из обеих частей:

\[ 3y = 3 - 6 \]

\[ 3y = -3 \]

Разделим обе части на 3:

\[ y = \frac{-3}{3} \]

\[ y = -1 \]

Мы нашли y!

Проверка:

Подставим x = 3 и y = -1 во второе исходное уравнение:

\[ 5x - 4y = 19 \]

\[ 5(3) - 4(-1) = 19 \]

\[ 15 + 4 = 19 \]

\[ 19 = 19 \]

Все верно!

Ответ: x = 3, y = -1.