Решите систему уравнений методом алгебраического сложения: 3x + 2y = 6, 5x + 6y = -2.

Привет! Давай решим эту систему методом алгебраического сложения. Коэффициенты при x и y не противоположны, поэтому нам нужно будет немного поработать, чтобы их такими сделать.

Дано:

• \[ \begin{cases} 3x + 2y = 6 \\ 5x + 6y = -2 \end{cases} \]

Решение:

Давай попробуем избавиться от переменной y. Коэффициенты при y сейчас 2 и 6. Чтобы сделать их противоположными, можно умножить первое уравнение на -3 (или умножить первое уравнение на 3, а второе оставить как есть, но тогда нам придется вычитать уравнения, что чуть сложнее).

1. Умножаем первое уравнение на -3:

\[ -3 × (3x + 2y) = -3 × 6 \]

\[ -9x - 6y = -18 \]

Теперь наша система выглядит так:

• \[ \begin{cases} -9x - 6y = -18 \\ 5x + 6y = -2 \end{cases} \]

Отлично, коэффициенты при y теперь противоположны: -6y и +6y.

1. Складываем уравнения:

\[ (-9x - 6y) + (5x + 6y) = -18 + (-2) \]

\[ -9x - 6y + 5x + 6y = -18 - 2 \]

\[ -4x = -20 \]

y взаимно уничтожились, и мы получили простое уравнение с x.

1. Находим x:

\[ -4x = -20 \]

Разделим обе части на -4:

\[ x = \frac{-20}{-4} \]

\[ x = 5 \]

Мы нашли x!

1. Находим y:

Подставим x = 5 в одно из исходных уравнений. Давай возьмем первое:

\[ 3x + 2y = 6 \]

\[ 3(5) + 2y = 6 \]

\[ 15 + 2y = 6 \]

Вычтем 15 из обеих частей:

\[ 2y = 6 - 15 \]

\[ 2y = -9 \]

Разделим обе части на 2:

\[ y = \frac{-9}{2} \]

\[ y = -4.5 \]

Мы нашли y!

Проверка:

Подставим x = 5 и y = -4.5 во второе исходное уравнение:

\[ 5x + 6y = -2 \]

\[ 5(5) + 6(-4.5) = -2 \]

\[ 25 - 27 = -2 \]

\[ -2 = -2 \]

Все верно!

Ответ: x = 5, y = -4.5.