Решите системы неравенств: №6. \(\begin{cases}(x+1)^2\ge3x+7,\\[2pt]\dfrac{x+1}{x+3}\ge\dfrac{6}{x^2+3x}.\end{cases}\)

Первое неравенство: \((x+1)^2\ge3x+7\iff x^2-x-6\ge0\iff(x-3)(x+2)\ge0\). Значит, \(x\in(-\infty,-2]\cup[3,+\infty)\).

Во втором неравенстве область допустимых значений: \(x\ne0,-3\). Перенесём выражения в одну сторону и разложим на множители:

\(\dfrac{x+1}{x+3}-\dfrac{6}{x(x+3)}=\dfrac{x^2+x-6}{x(x+3)}=\dfrac{(x+3)(x-2)}{x(x+3)}\ge0.\)

С учётом ограничений это равносильно \(\dfrac{x-2}{x}\ge0\), при этом \(x\ne-3\). Решение второго неравенства: \((-\infty,-3)\cup(-3,0)\cup[2,+\infty)\).

Пересечение решений системы: \((-\infty,-3)\cup(-3,-2]\cup[3,+\infty)\).

Ответ: \(x\in(-\infty,-3)\cup(-3,-2]\cup[3,+\infty)\).