Решите системы уравнений (427): а) √x+√y=8, x−y=16; б) ∛x+∛y=5, xy=216; в) √x−√y=4, x−y=32; г) ∛x−∛y=2, xy=27.

1. а) Положим a=√x и b=√y, a,b ≥ 0. Тогда a+b=8, а x−y=a²−b²=(a−b)(a+b)=16, значит a−b=2. Решая систему a+b=8, a−b=2, получаем a=5, b=3. Поэтому x=25, y=9.

2. б) Положим a=∛x, b=∛y. Тогда a+b=5 и a³b³=216, то есть ab=6. Следовательно, a и b — корни уравнения t²−5t+6=0: это 2 и 3. Получаем (x,y)=(8,27) или (27,8).

3. в) Положим a=√x и b=√y, a,b ≥ 0. Тогда a−b=4, а x−y=(a−b)(a+b)=32, откуда a+b=8. Решая систему, получаем a=6, b=2; значит, x=36, y=4.

4. г) Положим a=∛x, b=∛y. Тогда a−b=2 и ab=∛(xy)=3. Из (a−b)²=(a+b)²−4ab получаем a+b=4 или −4. В первом случае a=3, b=1; во втором a=−1, b=−3. Поэтому (x,y)=(27,1) или (−1,−27).

Ответ: а) (25; 9); б) (8; 27), (27; 8); в) (36; 4); г) (27; 1), (−1; −27).