Решите тригонометрические уравнения: 4. \(5\operatorname{tg}x-6\operatorname{ctg}x+7=0\)

Пусть \(t=\tan x\). В области определения уравнения \(t\ne0\), а \(\cot x=\frac1t\). Умножим уравнение на \(t\):

\(5t^2+7t-6=0\), то есть \((5t-3)(t+2)=0\).

Отсюда \(\tan x=\frac35\) или \(\tan x=-2\). Оба значения ненулевые и допустимы.

Ответ: \(x=\arctan\frac35+\pi k\) или \(x=-\arctan 2+\pi k,\ k\in\mathbb Z\).