Решите тригонометрические уравнения: 6. \(13\sin 2x-3\cos 2x=-13\)

Обозначим \(u=2x\). Представим левую часть в виде одной синусоиды. Пусть \(R=\sqrt{13^2+3^2}=\sqrt{178}\), а \(\varphi=\arctan\frac3{13}\). Тогда \(\cos\varphi=\frac{13}{\sqrt{178}}\), \(\sin\varphi=\frac3{\sqrt{178}}\), и

\(13\sin u-3\cos u=\sqrt{178}\sin(u-\varphi)\).

Следовательно, \(\sin(u-\varphi)=-\frac{13}{\sqrt{178}}\). Обозначим \(\alpha=\arcsin\frac{13}{\sqrt{178}}\). Решения синусного уравнения: \(u-\varphi=-\alpha+2\pi k\) или \(u-\varphi=\pi+\alpha+2\pi k\).

Так как \(u=2x\), делим оба равенства на 2.

Ответ: \(x=\frac{\varphi-\alpha}{2}+\pi k\) или \(x=\frac{\pi+\varphi+\alpha}{2}+\pi k\), где \(\varphi=\arctan\frac3{13}\), \(\alpha=\arcsin\frac{13}{\sqrt{178}}\), \(k\in\mathbb Z\).