Решите тригонометрические уравнения: 5. \(5\sin 2x-14\cos^2 x+2=0\)

По формуле \(\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}\) получаем \(5\sin 2x-7\cos 2x-5=0\). Обозначим \(\alpha=\arctan\frac{7}{5}\). Тогда \(5\sin 2x-7\cos 2x=\sqrt{74}\sin(2x-\alpha)\), и уравнение принимает вид \(\sin(2x-\alpha)=\frac{5}{\sqrt{74}}\).

Пусть \(\beta=\arcsin\frac{5}{\sqrt{74}}\). Решения уравнения синуса: \(2x-\alpha=\beta+2\pi k\) или \(2x-\alpha=\pi-\beta+2\pi k\).

Ответ: \(x=\frac{\alpha+\beta}{2}+\pi k\) или \(x=\frac{\alpha+\pi-\beta}{2}+\pi k\), где \(\alpha=\arctan\frac{7}{5}\), \(\beta=\arcsin\frac{5}{\sqrt{74}}\), \(k\in\mathbb Z\).