Решите тригонометрические уравнения: 6. \(9\cos 2x-4\cos^2 x=11\sin 2x+9\)

Подставляем \(\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}\): после упрощения получаем \(7\cos 2x-11\sin 2x=11\). Обозначим \(R=\sqrt{170}\) и \(\alpha=\arctan\frac{11}{7}\). Тогда левая часть равна \(R\cos(2x+\alpha)\), поэтому \(\cos(2x+\alpha)=\frac{11}{\sqrt{170}}\).

Пусть \(\gamma=\arccos\frac{11}{\sqrt{170}}\). Тогда \(2x+\alpha=\pm\gamma+2\pi k\).

Ответ: \(x=\frac{-\alpha\pm\gamma}{2}+\pi k\), где \(\alpha=\arctan\frac{11}{7}\), \(\gamma=\arccos\frac{11}{\sqrt{170}}\), \(k\in\mathbb Z\).