13. Решите уравнение: √x + 4 = √x² + 5x − 1.

Решим уравнение: $$√{x + 4} = \sqrt{x^2 + 5x - 1}$$.

1. Обе части уравнения возведем в квадрат:$$(\sqrt{x + 4})^2 = (\sqrt{x^2 + 5x - 1})^2$$$$x + 4 = x^2 + 5x - 1$$
2. Перенесем все члены уравнения в правую часть:$$x^2 + 5x - 1 - x - 4 = 0$$$$x^2 + 4x - 5 = 0$$
3. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:$$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$
4. Найдем корни уравнения:$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$$$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$
5. Проверим найденные корни, подставив их в исходное уравнение:
   • При $$x = 1$$:$$\sqrt{1 + 4} = \sqrt{1^2 + 5 \cdot 1 - 1}$$$$\sqrt{5} = \sqrt{1 + 5 - 1}$$$$\sqrt{5} = \sqrt{5}$$ – верно.
   • При $$x = -5$$:$$\sqrt{-5 + 4} = \sqrt{(-5)^2 + 5 \cdot (-5) - 1}$$$$\sqrt{-1} = \sqrt{25 - 25 - 1}$$$$\sqrt{-1} = \sqrt{-1}$$ – не имеет смысла, т.к. под корнем не может быть отрицательное число.

Таким образом, корнем уравнения является только $$x = 1$$.

Ответ: 1