6. Решите уравнение: 1) $$\sqrt{2x + 48} = -x$$; 2) $$\sqrt[4]{x - 2} + \sqrt{x - 2} = 20$$; 3) $$\sqrt{2x + 7} - \sqrt{x - 5} = 3$$.

1) $$\sqrt{2x + 48} = -x$$

ОДЗ: $$2x+48 \geq 0$$, то есть $$x \geq -24$$, $$-x \geq 0$$, то есть $$x \leq 0$$

Возводим обе части в квадрат: $$2x + 48 = x^2$$

$$x^2 - 2x - 48 = 0$$

Решаем квадратное уравнение: $$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$$

$$x_1 = \frac{2 + \sqrt{196}}{2} = \frac{2 + 14}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

$$x_2 = \frac{2 - \sqrt{196}}{2} = \frac{2 - 14}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$

Проверка:

$$\sqrt{2 \cdot 8 + 48} = -8$$ - не подходит, так как $$x \leq 0$$

$$\sqrt{2 \cdot (-6) + 48} = -(-6) \implies \sqrt{-12 + 48} = 6 \implies \sqrt{36} = 6 \implies 6 = 6$$ - подходит

Ответ: $$x = -6$$

2) $$\sqrt[4]{x - 2} + \sqrt{x - 2} = 20$$

ОДЗ: $$x - 2 \geq 0$$, то есть $$x \geq 2$$

Пусть $$y = \sqrt[4]{x - 2}$$, тогда $$y^2 = \sqrt{x - 2}$$

Уравнение примет вид: $$y + y^2 = 20$$

$$y^2 + y - 20 = 0$$

Решаем квадратное уравнение: $$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81$$

$$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 + 9}{2} = \frac{8}{2} = 4$$

$$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 - 9}{2} = \frac{-10}{2} = -5$$

Возвращаемся к замене: $$y = \sqrt[4]{x - 2}$$

$$\sqrt[4]{x - 2} = 4 \implies x - 2 = 4^4 \implies x = 256 + 2 = 258$$

$$\sqrt[4]{x - 2} = -5$$ - не подходит, так как корень четной степени не может быть отрицательным

Ответ: $$x = 258$$

3) $$\sqrt{2x + 7} - \sqrt{x - 5} = 3$$

ОДЗ: $$2x + 7 \geq 0$$, то есть $$x \geq -\frac{7}{2}$$, $$x - 5 \geq 0$$, то есть $$x \geq 5$$

$$\sqrt{2x + 7} = 3 + \sqrt{x - 5}$$

Возводим обе части в квадрат: $$2x + 7 = 9 + 6\sqrt{x - 5} + x - 5$$

$$2x + 7 = x + 4 + 6\sqrt{x - 5}$$

$$x + 3 = 6\sqrt{x - 5}$$

Возводим обе части в квадрат: $$x^2 + 6x + 9 = 36 (x - 5)$$

$$x^2 + 6x + 9 = 36x - 180$$

$$x^2 - 30x + 189 = 0$$

Решаем квадратное уравнение: $$D = (-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 189 = 900 - 756 = 144$$

$$x_1 = \frac{30 + \sqrt{144}}{2} = \frac{30 + 12}{2} = \frac{42}{2} = 21$$

$$x_2 = \frac{30 - \sqrt{144}}{2} = \frac{30 - 12}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

Проверка:

$$\sqrt{2 \cdot 21 + 7} - \sqrt{21 - 5} = 3 \implies \sqrt{42 + 7} - \sqrt{16} = 3 \implies \sqrt{49} - 4 = 3 \implies 7 - 4 = 3 \implies 3 = 3$$ - подходит

$$\sqrt{2 \cdot 9 + 7} - \sqrt{9 - 5} = 3 \implies \sqrt{18 + 7} - \sqrt{4} = 3 \implies \sqrt{25} - 2 = 3 \implies 5 - 2 = 3 \implies 3 = 3$$ - подходит

Ответ: $$x = 21, x = 9$$