Решите уравнение: 3x⁴ - 8x² - 3 = 0

Решение:

1. Сделаем замену переменной: пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид: \( 3y^2 - 8y - 3 = 0 \).
2. Найдем дискриминант для квадратного уравнения относительно \( y \): \( D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 \).
3. Найдем корни для \( y \): \( y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm 10}{6} \).
4. \( y_1 = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3 \).
5. \( y_2 = \frac{8 - 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \).
6. Теперь вернёмся к замене \( x^2 = y \).
7. Для \( y_1 = 3 \): \( x^2 = 3 \implies x = \pm \sqrt{3} \).
8. Для \( y_2 = -1/3 \): \( x^2 = -1/3 \). Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Ответ: x = \(\sqrt{3}\), x = -\(\sqrt{3}\)