Решите уравнение: 4x^4 + 12x^3 - 47x^2 + 12x + 4 = 0

Решение:

Это однородное уравнение четвертой степени. Так как x=0 не является корнем (4 ≠ 0), разделим обе части уравнения на x^2.

1. Делим на x^2:\[ 4x^2 + 12x - 47 + \frac{12}{x} + \frac{4}{x^2} = 0 \]
2. Группируем члены:\[ 4(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 12(x + \frac{1}{x}) - 47 = 0 \]
3. Введем замену переменной: Пусть y = x + \(\frac{1}{x}\). Тогда y^2 = \(x + \frac{1}{x}\)^2 = x^2 + 2 + \(\frac{1}{x^2}\). Отсюда x^2 + \(\frac{1}{x^2}\) = y^2 - 2.
4. Подставим замену в уравнение:\[ 4(y^2 - 2) + 12y - 47 = 0 \]
5. Раскроем скобки и приведем к стандартному виду квадратного уравнения:\[ 4y^2 - 8 + 12y - 47 = 0 \]
6. Упростим:\[ 4y^2 + 12y - 55 = 0 \]
7. Решаем квадратное уравнение относительно y, используя дискриминант:\[ D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4(4)(-55) = 144 + 880 = 1024 \]
8. Находим значения y:\[ y_1 = \frac{-12 + \sqrt{1024}}{2 \cdot 4} = \frac{-12 + 32}{8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} \]
9. Второе значение y:\[ y_2 = \frac{-12 - \sqrt{1024}}{2 \cdot 4} = \frac{-12 - 32}{8} = \frac{-44}{8} = -\frac{11}{2} \]
10. Теперь возвращаемся к исходной переменной x, подставляя найденные значения y в замену x + \(\frac{1}{x}\) = y:
• Для y_1 = 5/2:\[ x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2} \]
• Умножим обе части на 2x, чтобы избавиться от дробей:\[ 2x^2 + 2 = 5x \]
• Перенесем все в одну сторону:\[ 2x^2 - 5x + 2 = 0 \]
• Решаем это квадратное уравнение:\[ D = (-5)^2 - 4(2)(2) = 25 - 16 = 9 \]
• Находим корни:\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4} \]
• Получаем два корня:\[ x_1 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 \]
• И\[ x_2 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
• Для y_2 = -11/2:\[ x + \frac{1}{x} = -\frac{11}{2} \]
• Умножим обе части на 2x:\[ 2x^2 + 2 = -11x \]
• Перенесем все в одну сторону:\[ 2x^2 + 11x + 2 = 0 \]
• Решаем это квадратное уравнение:\[ D = 11^2 - 4(2)(2) = 121 - 16 = 105 \]
• Находим корни:\[ x = \frac{-11 \pm \sqrt{105}}{2 \cdot 2} = \frac{-11 \pm \sqrt{105}}{4} \]
• Получаем два корня:\[ x_3 = \frac{-11 + \sqrt{105}}{4} \]
• И\[ x_4 = \frac{-11 - \sqrt{105}}{4} \]

Ответ: x = 2, x = 1/2, x = \(\frac\){-11 + \(\sqrt{105}\)}{4}, x = \(\frac\){-11 - \(\sqrt{105}\)}{4}