Решите уравнение: (x-6)(x-5)(x+1)(x+2) = 44

Решение:

Это уравнение удобно решить, сгруппировав множители так, чтобы получить одинаковые выражения.

1. Сгруппируем множители:\[ ((x-6)(x+2))((x-5)(x+1)) = 44 \]
2. Раскроем скобки в каждой группе:\[ (x^2 + 2x - 6x - 12)(x^2 + x - 5x - 5) = 44 \]
3. Упростим выражения:\[ (x^2 - 4x - 12)(x^2 - 4x - 5) = 44 \]
4. Введем замену переменной: Пусть y = x^2 - 4x.
5. Подставим замену в уравнение:\[ (y - 12)(y - 5) = 44 \]
6. Раскроем скобки и приведем к стандартному виду квадратного уравнения:\[ y^2 - 5y - 12y + 60 = 44 \]
7. Перенесем все члены в одну сторону:\[ y^2 - 17y + 60 - 44 = 0 \]
8. Упростим:\[ y^2 - 17y + 16 = 0 \]
9. Решаем квадратное уравнение относительно y, используя дискриминант:\[ D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4(1)(16) = 289 - 64 = 225 \]
10. Находим значения y:\[ y_1 = \frac{17 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{17 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16 \]
11. Второе значение y:\[ y_2 = \frac{17 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{17 - 15}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
12. Теперь возвращаемся к исходной переменной x, подставляя найденные значения y в замену x^2 - 4x = y:
• Для y_1 = 16:\[ x^2 - 4x = 16 \]
• Переносим все в одну сторону:\[ x^2 - 4x - 16 = 0 \]
• Решаем это квадратное уравнение:\[ D = (-4)^2 - 4(1)(-16) = 16 + 64 = 80 \]
• Находим корни:\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{5} \]
• Для y_2 = 1:\[ x^2 - 4x = 1 \]
• Переносим все в одну сторону:\[ x^2 - 4x - 1 = 0 \]
• Решаем это квадратное уравнение:\[ D = (-4)^2 - 4(1)(-1) = 16 + 4 = 20 \]
• Находим корни:\[ x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5} \]

Ответ: x = 2 + 2\(\sqrt{5}\), x = 2 - 2\(\sqrt{5}\), x = 2 + \(\sqrt{5}\), x = 2 - \(\sqrt{5}\)