Решите уравнение: (x^2 - 5x)(x^2 - 5x + 10) = -24

Решение:

Это уравнение удобно решить методом введения новой переменной.

1. Введем замену: Пусть y = x^2 - 5x.
2. Подставим замену в уравнение:\[ y(y + 10) = -24 \]
3. Раскроем скобки и приведем к стандартному виду квадратного уравнения:\[ y^2 + 10y = -24 \]
4. Перенесем все члены в одну сторону:\[ y^2 + 10y + 24 = 0 \]
5. Решаем квадратное уравнение относительно y:\[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4(1)(24) = 100 - 96 = 4 \]
6. Находим значения y:\[ y_1 = \frac{-10 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 + 2}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]
7. Второе значение y:\[ y_2 = \frac{-10 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 - 2}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \]
8. Теперь возвращаемся к исходной переменной x, подставляя найденные значения y в замену x^2 - 5x = y:
• Для y_1 = -4:\[ x^2 - 5x = -4 \]
• Переносим все в одну сторону:\[ x^2 - 5x + 4 = 0 \]
• Решаем это квадратное уравнение:\[ D = (-5)^2 - 4(1)(4) = 25 - 16 = 9 \]
• Находим корни:\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2} \]
• Получаем два корня:\[ x_1 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]
• И\[ x_2 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
• Для y_2 = -6:\[ x^2 - 5x = -6 \]
• Переносим все в одну сторону:\[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]
• Решаем это квадратное уравнение:\[ D = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 \]
• Находим корни:\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2} \]
• Получаем два корня:\[ x_3 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]
• И\[ x_4 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]

Ответ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4