Решите уравнение: x^3 - x^2 - 11x + 3 = 0

Решение:

Это кубическое уравнение. Для решения таких уравнений часто используют метод подбора рациональных корней или численными методами. Проверим, есть ли целые корни, которые являются делителями свободного члена (3). Делители числа 3: ±1, ±3.

1. Проверим x = 1:\[ 1^3 - 1^2 - 11(1) + 3 = 1 - 1 - 11 + 3 = -8
   eq 0 \]
2. Проверим x = -1:\[ (-1)^3 - (-1)^2 - 11(-1) + 3 = -1 - 1 + 11 + 3 = 12
   eq 0 \]
3. Проверим x = 3:\[ 3^3 - 3^2 - 11(3) + 3 = 27 - 9 - 33 + 3 = -12
   eq 0 \]
4. Проверим x = -3:\[ (-3)^3 - (-3)^2 - 11(-3) + 3 = -27 - 9 + 33 + 3 = 0 \]

Мы нашли один корень: x = -3.

Теперь разделим многочлен x^3 - x^2 - 11x + 3 на (x + 3).

Используем деление многочленов столбиком:

Получаем квадратное уравнение: x² - 4x + 1 = 0.

5. Решаем квадратное уравнение, используя дискриминант:\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(1) = 16 - 4 = 12 \]
6. Находим корни:\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3} \]

Ответ: x = -3, x = 2 + \(\sqrt{3}\), x = 2 - \(\sqrt{3}\)