Решите уравнение: $\frac{x^2+x-5}{x}+\frac{3x}{x^2+x-5}+4=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Решите уравнение: $\frac{x^2+x-5}{x}+\frac{3x}{x^2+x-5}+4=0$.$ Фото задания

Accepted Answer

Ограничения: $x\ne0$ и $x^2+x-5\ne0$. Обозначим $A=\frac{x^2+x-5}{x}$. Тогда $\frac{3x}{x^2+x-5}=\frac3A$, и уравнение принимает вид:

$A+\frac3A+4=0$. Умножив на $A\ne0$, получим $A^2+4A+3=0$, то есть $(A+1)(A+3)=0$.

1) Если $A=-1$, то $\frac{x^2+x-5}{x}=-1$, откуда $x^2+2x-5=0$, и $x=-1\pm\sqrt6$.

2) Если $A=-3$, то $\frac{x^2+x-5}{x}=-3$, откуда $x^2+4x-5=0$, и $x=1$ или $x=-5$.

Все найденные значения удовлетворяют ограничениям.

Ответ: $x\in\{-5,1,-1-\sqrt6,-1+\sqrt6\}$.

Решите уравнение: \(\frac{x^2+x-5}{x}+\frac{3x}{x^2+x-5}+4=0\).