539. Решите уравнение, используя формулу (II): a) 3x² - 14x + 16 = 0; б) 3x² - 16x + 3 = 0; д) 4x² - 36х + 77 = 0; e) 15y² - 22y - 37 = 0; ж) 7z² - 20z + 14 = 0; з) y² - 10y - 25 = 0.

Предполагается, что формула (II) относится к нахождению корней квадратного уравнения. В общем виде квадратное уравнение записывается как ax² + bx + c = 0. Корни можно найти по формуле:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

a) 3x² - 14x + 16 = 0

• a = 3, b = -14, c = 16
• D = (-14)² - 4 × 3 × 16 = 196 - 192 = 4
• x₁ = (14 + √4) / (2 × 3) = 16 / 6 = 8 / 3
• x₂ = (14 - √4) / (2 × 3) = 12 / 6 = 2

б) 3x² - 16x + 3 = 0

• a = 3, b = -16, c = 3
• D = (-16)² - 4 × 3 × 3 = 256 - 36 = 220
• x₁ = (16 + √220) / (2 × 3) = (16 + 2√55) / 6 = (8 + √55) / 3
• x₂ = (16 - √220) / (2 × 3) = (16 - 2√55) / 6 = (8 - √55) / 3

д) 4x² - 36x + 77 = 0

• a = 4, b = -36, c = 77
• D = (-36)² - 4 × 4 × 77 = 1296 - 1232 = 64
• x₁ = (36 + √64) / (2 × 4) = 44 / 8 = 11 / 2
• x₂ = (36 - √64) / (2 × 4) = 28 / 8 = 7 / 2

e) 15y² - 22y - 37 = 0

• a = 15, b = -22, c = -37
• D = (-22)² - 4 × 15 × (-37) = 484 + 2220 = 2704
• y₁ = (22 + √2704) / (2 × 15) = 74 / 30 = 37 / 15
• y₂ = (22 - √2704) / (2 × 15) = -30 / 30 = -1

ж) 7z² - 20z + 14 = 0

• a = 7, b = -20, c = 14
• D = (-20)² - 4 × 7 × 14 = 400 - 392 = 8
• z₁ = (20 + √8) / (2 × 7) = (20 + 2√2) / 14 = (10 + √2) / 7
• z₂ = (20 - √8) / (2 × 7) = (20 - 2√2) / 14 = (10 - √2) / 7

з) y² - 10y - 25 = 0

• a = 1, b = -10, c = -25
• D = (-10)² - 4 × 1 × (-25) = 100 + 100 = 200
• y₁ = (10 + √200) / (2 × 1) = (10 + 10√2) / 2 = 5 + 5√2
• y₂ = (10 - √200) / (2 × 1) = (10 - 10√2) / 2 = 5 - 5√2

Ответ:

a) x₁ = 8/3, x₂ = 2;
б) x₁ = (8 + √55) / 3, x₂ = (8 - √55) / 3;
д) x₁ = 11/2, x₂ = 7/2;
e) y₁ = 37/15, y₂ = -1;
ж) z₁ = (10 + √2) / 7, z₂ = (10 - √2) / 7;
з) y₁ = 5 + 5√2, y₂ = 5 - 5√2.