9. Решите уравнение (x²+2x+4)² - 14 (x²+2x+4) − 15 = 0 ме- тодом замены переменной.

Решим уравнение $$(x^2 + 2x + 4)^2 - 14(x^2 + 2x + 4) - 15 = 0$$ методом замены переменной.

Пусть $$t = x^2 + 2x + 4$$, тогда уравнение примет вид:

$$t^2 - 14t - 15 = 0$$

Найдем дискриминант: $$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256$$.

$$t_1 = \frac{-(-14) + \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 16}{2} = \frac{30}{2} = 15$$

$$t_2 = \frac{-(-14) - \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 16}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$

Вернемся к замене:

1) $$x^2 + 2x + 4 = 15$$

$$x^2 + 2x - 11 = 0$$

$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 4 + 44 = 48$$

$$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{48}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4\sqrt{3}}{2} = -1 + 2\sqrt{3}$$

$$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{48}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4\sqrt{3}}{2} = -1 - 2\sqrt{3}$$

2) $$x^2 + 2x + 4 = -1$$

$$x^2 + 2x + 5 = 0$$

$$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$$

Т.к. дискриминант отрицательный, то корней нет.

Ответ: $$x_1 = -1 + 2\sqrt{3}$$, $$x_2 = -1 - 2\sqrt{3}$$