20. Решите уравнение z⁴ = (z - 42)²

Пошаговое решение:

• Пусть \(z^2 = t\). Тогда уравнение принимает вид:

\(t^2 = (z - 42)^2\)

• Извлечем квадратный корень из обеих частей:

\(t = \pm (z - 42)\)

• Рассмотрим случай 1: \(t = z - 42\)

\(z^2 = z - 42\)

\(z^2 - z + 42 = 0\)

Дискриминант \(D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 42 = 1 - 168 = -167 < 0\). Корней нет.

• Рассмотрим случай 2: \(t = -(z - 42)\)

\(z^2 = -z + 42\)

\(z^2 + z - 42 = 0\)

• Найдем корни квадратного уравнения:

Дискриминант \(D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-42) = 1 + 168 = 169\)

\(z_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{-1 \pm 13}{2}\)

\(z_1 = \frac{-1 + 13}{2} = \frac{12}{2} = 6\)

\(z_2 = \frac{-1 - 13}{2} = \frac{-14}{2} = -7\)

Ответ: -7, 6