2 Решите уравнение: a) \frac{x²}{x+3} = \frac{5x - 6}{x +3}; б) \frac{x² + 9x + 18}{x² - 36} = \frac{5}{x-6}.

a) Решим уравнение $$\frac{x^2}{x+3} = \frac{5x - 6}{x+3}$$.

ОДЗ: $$x
eq -3$$.

При $$x
eq -3$$ умножим обе части уравнения на $$x+3$$. Получим: $$x^2 = 5x - 6$$, откуда $$x^2 - 5x + 6 = 0$$.

Дискриминант $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$.

Корни уравнения $$x_1 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3$$, $$x_2 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{5 - 1}{2} = 2$$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

б) Решим уравнение $$\frac{x^2 + 9x + 18}{x^2 - 36} = \frac{5}{x-6}$$.

ОДЗ: $$x
eq \pm 6$$.

Разложим числитель и знаменатель левой части на множители.

$$x^2 + 9x + 18 = (x + 3)(x + 6)$$, $$x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)$$.

Получаем: $$\frac{(x + 3)(x + 6)}{(x - 6)(x + 6)} = \frac{5}{x - 6}$$.

При $$x
eq \pm 6$$ сократим на $$x + 6$$ и умножим обе части уравнения на $$x - 6$$. Получим: $$x + 3 = 5$$, откуда $$x = 2$$.

Корень $$x = 2$$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: a) $$x_1 = 3$$, $$x_2 = 2$$; б) $$x = 2$$