Решите уравнение: \frac{x}{x-5} + \frac{3x+15}{x^2-25} = 0.

Решение: 1. Приведем уравнение к общему знаменателю. Заметим, что (x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)). Тогда общий знаменатель ((x - 5)(x + 5)). 2. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель ((x - 5)(x + 5)), учитывая, что (x
eq 5) и (x
eq -5): \[\frac{x}{x-5} + \frac{3x+15}{(x-5)(x+5)} = 0\] \[x(x+5) + (3x+15) = 0\] 3. Раскрываем скобки: \[x^2 + 5x + 3x + 15 = 0\] 4. Приводим подобные слагаемые: \[x^2 + 8x + 15 = 0\] 5. Решаем квадратное уравнение. Используем дискриминант: (D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 cdot 1 cdot 15 = 64 - 60 = 4) 6. Находим корни: \[x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2} = \frac{-8 + 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3\] \[x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2} = \frac{-8 - 2}{2} = \frac{-10}{2} = -5\] 7. Проверяем корни на соответствие ОДЗ: (x
eq 5) и (x
eq -5). (x_1 = -3) подходит, а (x_2 = -5) не подходит. Ответ: x = -3