Решите задачу 2: Дуга \(AB\) равна \(270^\circ\). Найдите длину хорды \(AB\), если радиус окружности равен \(\sqrt{2}\) см.

Дано: * Дуга \(AB = 270^\circ\) * Радиус \(R = \sqrt{2}\) см Необходимо найти длину хорды \(AB\). Так как дуга \(AB\) составляет \(270^\circ\), то центральный угол \(\angle AOB\), опирающийся на эту дугу, также равен \(270^\circ\). Рассмотрим другой угол \(\angle AOB\), образованный теми же точками, но изнутри окружности. Тогда \(\angle AOB = 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ\). Теперь у нас есть равнобедренный треугольник \(\triangle AOB\) (так как \(OA = OB = R\)), в котором \(\angle AOB = 90^\circ\). Значит, это прямоугольный равнобедренный треугольник. По теореме Пифагора: \[AB^2 = OA^2 + OB^2\] \[AB^2 = R^2 + R^2 = 2R^2\] \[AB = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}\] Подставим значение радиуса \(R = \sqrt{2}\) см: \[AB = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\] см. Ответ: Длина хорды \(AB = 2\) см.