Решите задачу №4: Найдите хорду, на которую опирается угол 120°, вписанный в окружность радиуса $$45\sqrt{3}$$.

Пусть хорда равна $$a$$, радиус окружности равен $$R = 45\sqrt{3}$$, а вписанный угол, опирающийся на эту хорду, равен $$\alpha = 120^{\circ}$$. Тогда центральный угол, опирающийся на эту хорду, равен $$2\alpha = 240^{\circ}$$. Применим теорему косинусов для треугольника, образованного двумя радиусами и хордой: \[a^2 = R^2 + R^2 - 2R^2 \cos(2\alpha)\] \[a^2 = 2R^2 - 2R^2 \cos(240^{\circ})\] Так как $$\cos(240^{\circ}) = -\frac{1}{2}$$, то: \[a^2 = 2R^2 - 2R^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 2R^2 + R^2 = 3R^2\] \[a = R\sqrt{3}\] Подставим значение радиуса $$R = 45\sqrt{3}$$: \[a = 45\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 45 \cdot 3 = 135\] Ответ: 135.