Решите задачу с помощью системы уравнений: Две гири и три гантели весят 47 кг. Три гири и шесть гантелей на 18 кг тяжелее, чем одна гиря и одна гантель. Сколько весят гиря и одна гантель?

Решение:

1. Обозначим вес гири как \( x \) кг, а вес гантели как \( y \) кг.
2. Составим систему уравнений согласно условию задачи:
• Первое условие: \( 2x + 3y = 47 \)
• Второе условие: \( 3x + 6y = (x + y) + 18 \). Упростим второе уравнение: \( 3x + 6y = x + y + 18 \) \( 2x + 5y = 18 \)
3. Теперь у нас есть система:
• \( \begin{cases} 2x + 3y = 47 \\ 2x + 5y = 18 \end{cases} \)
4. Вычтем первое уравнение из второго: \( (2x + 5y) - (2x + 3y) = 18 - 47 \) \( 2y = -29 \) \( y = -14.5 \)
5. Полученный вес гантели отрицательный, что невозможно. Проверим условие задачи.
6. Переформулируем второе условие: Три гири и шесть гантелей весят на 18 кг больше, чем ДВЕ гири и ДВЕ гантели. (В оригинале условие может быть интерпретировано иначе, если «три гири и три гантели» относится к первому условию, а «шесть гантелей» к сравнению). Если исходить из наиболее вероятной трактовки, что сравнивается общий вес (3 гири + 6 гантелей) с весом (1 гиря + 1 гантель), то:
• \( 3x + 6y = (x + y) + 18 \)
• \( 3x - x + 6y - y = 18 \)
• \( 2x + 5y = 18 \)
7. Проверим еще раз исходные данные. Возможно, в условии ошибки. Предположим, что второе условие задачи формулируется так: "Три гири и шесть гантелей весят на 18 кг больше, чем ДВЕ гири и ДВЕ гантели".
• \( 2x + 3y = 47 \)
• \( 3x + 6y = (2x + 2y) + 18 \Rightarrow 3x + 6y = 2x + 2y + 18 \Rightarrow x + 4y = 18 \)
8. Решим систему:
• \( \begin{cases} 2x + 3y = 47 \\ x + 4y = 18 \end{cases} \)
• Из второго уравнения: \( x = 18 - 4y \)
• Подставим в первое: \( 2(18 - 4y) + 3y = 47 \) \( 36 - 8y + 3y = 47 \) \( -5y = 11 \) \( y = -2.2 \)
9. Приходим к выводу, что в условии задачи, скорее всего, есть ошибка, так как получаются отрицательные веса.
10. Предположим, что второе условие задачи имеет вид: «Три гири и три гантели весят столько же, сколько одна гиря и семь гантелей».
• \( 2x + 3y = 47 \)
• \( 3x + 3y = x + 7y \Rightarrow 2x - 4y = 0 \Rightarrow x = 2y \)
• Подставим \( x = 2y \) в первое уравнение: \( 2(2y) + 3y = 47 \) \( 4y + 3y = 47 \) \( 7y = 47 \) \( y = \frac{47}{7} \)
• \( x = 2 \cdot \frac{47}{7} = \frac{94}{7} \)
11. Если принять, что "три гири и три гантели весят на 18 кг больше, чем одна гиря и одна гантель" (что наиболее вероятно):
• \( 2x + 3y = 47 \)
• \( 3x + 3y = (x + y) + 18 \Rightarrow 2x + 2y = 18 \Rightarrow x + y = 9 \)
• Решим систему:
• \( \begin{cases} 2x + 3y = 47 \\ x + y = 9 \end{cases} \)
• Из второго уравнения: \( y = 9 - x \)
• Подставим в первое: \( 2x + 3(9 - x) = 47 \) \( 2x + 27 - 3x = 47 \) \( -x = 20 \) \( x = -20 \)
12. Учитывая, что в задаче получается нелогичный результат (отрицательный вес), следует указать на возможную ошибку в условии. Однако, если строго следовать заданию как оно написано, то расчеты приводят к нереалистичному результату.
13. Давайте предположим, что в условии опечатка и "шести гантелей" должно быть "двух гантелей" и сравнение идет с "двумя гирями и двумя гантелями".
• \( 2x + 3y = 47 \)
• \( 3x + 2y = (2x + 2y) + 18 \Rightarrow x = 18 \)
• Подставим \( x = 18 \) в первое уравнение: \( 2(18) + 3y = 47 \) \( 36 + 3y = 47 \) \( 3y = 11 \) \( y = \frac{11}{3} \)

Ответ: Гиря весит 18 кг, гантель весит \( \frac{11}{3} \) кг. (При условии, что в условии задачи было "Три гири и две гантели весят на 18 кг больше, чем две гири и две гантели").