С 1.(3 балла) Равнобочная трапеция с основаниями 12 см и 18 см и высотой 4 см вращается около большего основания. Найдите объём тела вращения.

Решение:

При вращении равнобочной трапеции около большего основания образуется тело, состоящее из цилиндра и двух одинаковых конусов, основание которых является основанием цилиндра. Высота трапеции является радиусом оснований цилиндра и конусов.

1. Радиус основания цилиндра и конусов: \( r = h_{трапеции} = 4 \) см.
2. Высота цилиндра: Высота цилиндра равна меньшему основанию трапеции: \( h_{цилиндра} = 12 \) см.
3. Объём цилиндра: \( V_{цилиндра} = \pi r^2 h_{цилиндра} = \pi \cdot 4^2 \cdot 12 = \pi \cdot 16 \cdot 12 = 192\pi \) см³.
4. Высота конусов: Найдем проекцию боковой стороны трапеции на большее основание. \( x = \frac{a_{большее} - a_{меньшее}}{2} = \frac{18 - 12}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) см. Это и будет высота каждого конуса. \( h_{конуса} = 3 \) см.
5. Объём одного конуса: \( V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 h_{конуса} = \frac{1}{3} \pi \cdot 4^2 \cdot 3 = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 3 = 16\pi \) см³.
6. Объём тела вращения: Объём тела вращения равен сумме объёма цилиндра и объёмов двух конусов. \( V_{тела} = V_{цилиндра} + 2 \cdot V_{конуса} = 192\pi + 2 \cdot 16\pi = 192\pi + 32\pi = 224\pi \) см³.

Ответ: \( 224\pi \) см³.