С 2.(3 балла) Найдите все решения уравнения cos 2x + sin ² x = cos x. Укажите корни, принадлежащие отрезку [-π; π].

Решение:

1. Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \).
2. Подставим в уравнение: \( (2\cos^2 x - 1) + \sin^2 x = \cos x \).
3. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \).
4. Подставим: \( 2\cos^2 x - 1 + (1 - \cos^2 x) = \cos x \).
5. Упростим: \( \cos^2 x = \cos x \).
6. Перенесём все члены в одну сторону: \( \cos^2 x - \cos x = 0 \).
7. Вынесем \( \cos x \) за скобки: \( \cos x (\cos x - 1) = 0 \).
8. Приравняем каждый множитель к нулю:
• \( \cos x = 0 \)
• \( \cos x - 1 = 0 → \cos x = 1 \)
9. Решим \( \cos x = 0 \) на отрезке \( [-\pi; \pi] \). Корни: \( x = \frac{\pi}{2} \) и \( x = -\frac{\pi}{2} \).
10. Решим \( \cos x = 1 \) на отрезке \( [-\pi; \pi] \). Корень: \( x = 0 \).

Ответ: \( 0, \frac{\pi}{2}, -\frac{\pi}{2} \).